Selesaikan {l}{x-10y=-14}{-5x-8y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 10 y = - 14 } \\ { - 5 x - 8 y = 12 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-4$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-10y=-14,-5x-8y=12$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-10y=-14$$

Tambahkan 10y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=10y-14$$

Gantikan 10y-14 dengan x dalam persamaan lain, -5x-8y=12.

$$-5\left(10y-14\right)-8y=12$$

Darabkan -5 kali 10y-14.

$$-50y+70-8y=12$$

Tambahkan -50y pada -8y.

$$-58y+70=12$$

Tolak 70 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-58y=-58$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -58.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=10y-14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=10-14$$

Tambahkan -14 pada 10.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-10y=-14,-5x-8y=12$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}&-\frac{-10}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}&\frac{1}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&-\frac{5}{29}\\-\frac{5}{58}&-\frac{1}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\left(-14\right)-\frac{5}{29}\times 12\\-\frac{5}{58}\left(-14\right)-\frac{1}{58}\times 12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-4,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-10y=-14,-5x-8y=12$$

Untuk menjadikan x dan -5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-5x-5\left(-10\right)y=-5\left(-14\right),-5x-8y=12$$

Permudahkan.

$$-5x+50y=70,-5x-8y=12$$

Tolak -5x-8y=12 daripada -5x+50y=70 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-5x+5x+50y+8y=70-12$$

Tambahkan -5x pada 5x. Seubtan -5x dan 5x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$50y+8y=70-12$$

Tambahkan 50y pada 8y.

$$58y=70-12$$

Tambahkan 70 pada -12.

$$58y=58$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 58.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam -5x-8y=12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-5x-8=12$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=1$$