Selesaikan {l}{x^2+y^2=9}{x+y=a}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 9 } \\ { x + y = a } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Langkah Menggunakan Penggantian dan Formula Kuadratik

Selesaikan x+y=a untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=a$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+a$$

Gantikan -y+a dengan x dalam persamaan lain, y^{2}+x^{2}=9.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

Kuasa dua -y+a.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

Tambahkan y^{2} pada y^{2}.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1+1\left(-1\right)^{2} dengan a, 1\left(-1\right)\times 2a dengan b dan -9+a^{2} dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua 1\left(-1\right)\times 2a.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -9+a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

Tambahkan 4a^{2} pada 72-8a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 72-4a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 2a pada 2\sqrt{18-a^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

Bahagikan 2a+2\sqrt{18-a^{2}} dengan 4.

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 2\sqrt{18-a^{2}} daripada 2a.

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

Bahagikan 2a-2\sqrt{18-a^{2}} dengan 4.

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Terdapat dua penyelesaian untuk y: \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} dan \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}. Gantikan \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} dengan y dalam persamaan x=-y+a untuk mencari penyelesaian sepadan bagi x yang memuaskan kedua-dua persamaan.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

Sekarang gantikan \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2} dengan y dalam persamaan x=-y+a tersebut dan selesaikan untuk mencari penyelesaian sepadan bagi x yang memuaskan kedua-dua persamaan.

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }|a|\leq 3\sqrt{2}$$

Langkah Menggunakan Penggantian dan Formula Kuadratik

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=a,y^{2}+x^{2}=9$$

Selesaikan x+y=a untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=a$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+a$$

Gantikan -y+a dengan x dalam persamaan lain, y^{2}+x^{2}=9.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

Kuasa dua -y+a.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

Tambahkan y^{2} pada y^{2}.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1+1\left(-1\right)^{2} dengan a, 1\left(-1\right)\times 2a dengan b dan -9+a^{2} dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua 1\left(-1\right)\times 2a.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -9+a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

Tambahkan 4a^{2} pada 72-8a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 72-4a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 2a pada 2\sqrt{18-a^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

Bahagikan 2a+2\sqrt{18-a^{2}} dengan 4.

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 2\sqrt{18-a^{2}} daripada 2a.

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

Bahagikan 2a-2\sqrt{18-a^{2}} dengan 4.

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Terdapat dua penyelesaian untuk y: \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} dan \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}. Gantikan \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} dengan y dalam persamaan x=-y+a untuk mencari penyelesaian sepadan bagi x yang memuaskan kedua-dua persamaan.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

Sekarang gantikan \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2} dengan y dalam persamaan x=-y+a tersebut dan selesaikan untuk mencari penyelesaian sepadan bagi x yang memuaskan kedua-dua persamaan.

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$