Selesaikan {l}{x^2+y^2=4}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656\text{, }y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656$$

$$x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656\text{, }y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656$$

Langkah Menggunakan Penggantian dan Formula Kuadratik

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=1,y^{2}+x^{2}=4$$

Selesaikan x+y=1 untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+1$$

Gantikan -y+1 dengan x dalam persamaan lain, y^{2}+x^{2}=4.

$$y^{2}+\left(-y+1\right)^{2}=4$$

Kuasa dua -y+1.

$$y^{2}+y^{2}-2y+1=4$$

Tambahkan y^{2} pada y^{2}.

$$2y^{2}-2y+1=4$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y^{2}-2y-3=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1+1\left(-1\right)^{2} dengan a, 1\times 1\left(-1\right)\times 2 dengan b dan -3 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua 1\times 1\left(-1\right)\times 2.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -3.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+24}}{2\times 2}$$

Tambahkan 4 pada 24.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{28}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 28.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Nombor bertentangan 1\times 1\left(-1\right)\times 2 ialah 2.

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 2 pada 2\sqrt{7}.

$$y=\frac{2\sqrt{7}+2}{4}$$

Bahagikan 2+2\sqrt{7} dengan 4.

$$y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 2\sqrt{7} daripada 2.

$$y=\frac{2-2\sqrt{7}}{4}$$

Bahagikan 2-2\sqrt{7} dengan 4.

$$y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$

Terdapat dua penyelesaian untuk y: \frac{1+\sqrt{7}}{2} dan \frac{1-\sqrt{7}}{2}. Gantikan \frac{1+\sqrt{7}}{2} dengan y dalam persamaan x=-y+1 untuk mencari penyelesaian sepadan bagi x yang memuaskan kedua-dua persamaan.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1$$

Sekarang gantikan \frac{1-\sqrt{7}}{2} dengan y dalam persamaan x=-y+1 tersebut dan selesaikan untuk mencari penyelesaian sepadan bagi x yang memuaskan kedua-dua persamaan.

$$x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1,y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\text{ or }x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1,y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$