Selesaikan {l}{x^2+y^2=1}{2x+2y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 } \\ { 2 x + 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{4}\approx 0.911437828\text{, }y=\frac{1-\sqrt{7}}{4}\approx -0.411437828$$

$$x=\frac{1-\sqrt{7}}{4}\approx -0.411437828\text{, }y=\frac{\sqrt{7}+1}{4}\approx 0.911437828$$

Langkah Menggunakan Penggantian dan Formula Kuadratik

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+2y=1,y^{2}+x^{2}=1$$

Selesaikan 2x+2y=1 untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+2y=1$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-2y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-y+\frac{1}{2}$$

Gantikan -y+\frac{1}{2} dengan x dalam persamaan lain, y^{2}+x^{2}=1.

$$y^{2}+\left(-y+\frac{1}{2}\right)^{2}=1$$

Kuasa dua -y+\frac{1}{2}.

$$y^{2}+y^{2}-y+\frac{1}{4}=1$$

Tambahkan y^{2} pada y^{2}.

$$2y^{2}-y+\frac{1}{4}=1$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y^{2}-y-\frac{3}{4}=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1+1\left(-1\right)^{2} dengan a, 1\times \frac{1}{2}\left(-1\right)\times 2 dengan b dan -\frac{3}{4} dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-\frac{3}{4}\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-\frac{3}{4}\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -\frac{3}{4}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+6}}{2\times 2}$$

Tambahkan 1 pada 6.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Nombor bertentangan 1\times \frac{1}{2}\left(-1\right)\times 2 ialah 1.

$$y=\frac{1±\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{1±\sqrt{7}}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{1±\sqrt{7}}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 1 pada \sqrt{7}.

$$y=\frac{\sqrt{7}+1}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{1±\sqrt{7}}{4} apabila ± ialah minus. Tolak \sqrt{7} daripada 1.

$$y=\frac{1-\sqrt{7}}{4}$$

Terdapat dua penyelesaian untuk y: \frac{1+\sqrt{7}}{4} dan \frac{1-\sqrt{7}}{4}. Gantikan \frac{1+\sqrt{7}}{4} dengan y dalam persamaan x=-y+\frac{1}{2} untuk mencari penyelesaian sepadan bagi x yang memuaskan kedua-dua persamaan.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{4}+\frac{1}{2}$$

Sekarang gantikan \frac{1-\sqrt{7}}{4} dengan y dalam persamaan x=-y+\frac{1}{2} tersebut dan selesaikan untuk mencari penyelesaian sepadan bagi x yang memuaskan kedua-dua persamaan.

$$x=-\frac{1-\sqrt{7}}{4}+\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{4}+\frac{1}{2},y=\frac{\sqrt{7}+1}{4}\text{ or }x=-\frac{1-\sqrt{7}}{4}+\frac{1}{2},y=\frac{1-\sqrt{7}}{4}$$