Selesaikan {l}{x=y/2}{y=x-5}

$$\left. \begin{array} { l } { x = y / 2 } \\ { y = x - 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-5$$

$$y=-10$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{y}{2} daripada kedua-dua belah.

$$x-\frac{y}{2}=0$$

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$2x-y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-5$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-y=0,-x+y=-5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-y=0$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}y$$

Gantikan \frac{y}{2} dengan x dalam persamaan lain, -x+y=-5.

$$-\frac{1}{2}y+y=-5$$

Tambahkan -\frac{y}{2} pada y.

$$\frac{1}{2}y=-5$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-10$$

Gantikan -10 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -10.

$$x=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-5,y=-10$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{y}{2} daripada kedua-dua belah.

$$x-\frac{y}{2}=0$$

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$2x-y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-5$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-y=0,-x+y=-5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-5,y=-10$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{y}{2} daripada kedua-dua belah.

$$x-\frac{y}{2}=0$$

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$2x-y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-5$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-y=0,-x+y=-5$$

Untuk menjadikan 2x dan -x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-2x-\left(-y\right)=0,2\left(-1\right)x+2y=2\left(-5\right)$$

Permudahkan.

$$-2x+y=0,-2x+2y=-10$$

Tolak -2x+2y=-10 daripada -2x+y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2x+2x+y-2y=10$$

Tambahkan -2x pada 2x. Seubtan -2x dan 2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y-2y=10$$

Tambahkan y pada -2y.

$$-y=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=-10$$

Gantikan -10 dengan y dalam -x+y=-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-x-10=-5$$

Tambahkan 10 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-5,y=-10$$