Selesaikan {l}{x+y=90}{x+36=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x+36-3y=0$$

Tolak 36 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-3y=-36$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=90$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+90$$

Gantikan -y+90 dengan x dalam persamaan lain, x-3y=-36.

$$-y+90-3y=-36$$

Tambahkan -y pada -3y.

$$-4y+90=-36$$

Tolak 90 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4y=-126$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Gantikan \frac{63}{2} dengan y dalam x=-y+90. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

Tambahkan 90 pada -\frac{63}{2}.

$$x=\frac{117}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x+36-3y=0$$

Tolak 36 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-3y=-36$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x+36-3y=0$$

Tolak 36 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-3y=-36$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Tolak x-3y=-36 daripada x+y=90 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x+y+3y=90+36$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y+3y=90+36$$

Tambahkan y pada 3y.

$$4y=90+36$$

Tambahkan 90 pada 36.

$$4y=126$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Gantikan \frac{63}{2} dengan y dalam x-3y=-36. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

Darabkan -3 kali \frac{63}{2}.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

Tambahkan \frac{189}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{117}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$