Selesaikan {l}{x+y=8}{y=3x}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 8 } \\ { y = 3 x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=8,-3x+y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=8$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+8$$

Gantikan -y+8 dengan x dalam persamaan lain, -3x+y=0.

$$-3\left(-y+8\right)+y=0$$

Darabkan -3 kali -y+8.

$$3y-24+y=0$$

Tambahkan 3y pada y.

$$4y-24=0$$

Tambahkan 24 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4y=24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam x=-y+8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-6+8$$

Tambahkan 8 pada -6.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=8,-3x+y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 8\\\frac{3}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=8,-3x+y=0$$

Tolak -3x+y=0 daripada x+y=8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x+3x+y-y=8$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$x+3x=8$$

Tambahkan x pada 3x.

$$4x=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam -3x+y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-3\times 2+y=0$$

Darabkan -3 kali 2.

$$-6+y=0$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=6$$