Selesaikan {l}{x+y=780}{x-y=975}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 780 } \\ { x - y = 975 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{1755}{2} = 877\frac{1}{2} = 877.5$$

$$y = -\frac{195}{2} = -97\frac{1}{2} = -97.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=780,x-y=975$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=780$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+780$$

Gantikan -y+780 dengan x dalam persamaan lain, x-y=975.

$$-y+780-y=975$$

Tambahkan -y pada -y.

$$-2y+780=975$$

Tolak 780 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=195$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=-\frac{195}{2}$$

Gantikan -\frac{195}{2} dengan y dalam x=-y+780. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\left(-\frac{195}{2}\right)+780$$

Darabkan -1 kali -\frac{195}{2}.

$$x=\frac{195}{2}+780$$

Tambahkan 780 pada \frac{195}{2}.

$$x=\frac{1755}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1755}{2},y=-\frac{195}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=780,x-y=975$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}780\\975\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\975\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\975\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\975\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}780\\975\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}780\\975\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 780+\frac{1}{2}\times 975\\\frac{1}{2}\times 780-\frac{1}{2}\times 975\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1755}{2}\\-\frac{195}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{1755}{2},y=-\frac{195}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=780,x-y=975$$

Tolak x-y=975 daripada x+y=780 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x+y+y=780-975$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y+y=780-975$$

Tambahkan y pada y.

$$2y=780-975$$

Tambahkan 780 pada -975.

$$2y=-195$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-\frac{195}{2}$$

Gantikan -\frac{195}{2} dengan y dalam x-y=975. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-\left(-\frac{195}{2}\right)=975$$

Darabkan -1 kali -\frac{195}{2}.

$$x+\frac{195}{2}=975$$

Tolak \frac{195}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{1755}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1755}{2},y=-\frac{195}{2}$$