Selesaikan {l}{x+y=78}{2x+4y=200}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 78 } \\ { 2 x + 4 y = 200 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=56$$

$$y=22$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=78,2x+4y=200$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=78$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+78$$

Gantikan -y+78 dengan x dalam persamaan lain, 2x+4y=200.

$$2\left(-y+78\right)+4y=200$$

Darabkan 2 kali -y+78.

$$-2y+156+4y=200$$

Tambahkan -2y pada 4y.

$$2y+156=200$$

Tolak 156 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=44$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=22$$

Gantikan 22 dengan y dalam x=-y+78. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-22+78$$

Tambahkan 78 pada -22.

$$x=56$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=56,y=22$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=78,2x+4y=200$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2}&-\frac{1}{4-2}\\-\frac{2}{4-2}&\frac{1}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 78-\frac{1}{2}\times 200\\-78+\frac{1}{2}\times 200\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\22\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=56,y=22$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=78,2x+4y=200$$

Untuk menjadikan x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2x+2y=2\times 78,2x+4y=200$$

Permudahkan.

$$2x+2y=156,2x+4y=200$$

Tolak 2x+4y=200 daripada 2x+2y=156 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+2y-4y=156-200$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y-4y=156-200$$

Tambahkan 2y pada -4y.

$$-2y=156-200$$

Tambahkan 156 pada -200.

$$-2y=-44$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=22$$

Gantikan 22 dengan y dalam 2x+4y=200. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+4\times 22=200$$

Darabkan 4 kali 22.

$$2x+88=200$$

Tolak 88 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=112$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=56$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=56,y=22$$