Selesaikan {l}{x+y=74}{40x+60y=3660}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 74 } \\ { 40 x + 60 y = 3660 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=39$$

$$y=35$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=74$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+74$$

Gantikan -y+74 dengan x dalam persamaan lain, 40x+60y=3660.

$$40\left(-y+74\right)+60y=3660$$

Darabkan 40 kali -y+74.

$$-40y+2960+60y=3660$$

Tambahkan -40y pada 60y.

$$20y+2960=3660$$

Tolak 2960 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$20y=700$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 20.

$$y=35$$

Gantikan 35 dengan y dalam x=-y+74. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-35+74$$

Tambahkan 74 pada -35.

$$x=39$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=39,y=35$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{60-40}&-\frac{1}{60-40}\\-\frac{40}{60-40}&\frac{1}{60-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-\frac{1}{20}\\-2&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 74-\frac{1}{20}\times 3660\\-2\times 74+\frac{1}{20}\times 3660\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\35\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=39,y=35$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Untuk menjadikan x dan 40x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 40 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$40x+40y=40\times 74,40x+60y=3660$$

Permudahkan.

$$40x+40y=2960,40x+60y=3660$$

Tolak 40x+60y=3660 daripada 40x+40y=2960 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$40x-40x+40y-60y=2960-3660$$

Tambahkan 40x pada -40x. Seubtan 40x dan -40x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$40y-60y=2960-3660$$

Tambahkan 40y pada -60y.

$$-20y=2960-3660$$

Tambahkan 2960 pada -3660.

$$-20y=-700$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -20.

$$y=35$$

Gantikan 35 dengan y dalam 40x+60y=3660. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$40x+60\times 35=3660$$

Darabkan 60 kali 35.

$$40x+2100=3660$$

Tolak 2100 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$40x=1560$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 40.

$$x=39$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=39,y=35$$