Selesaikan {l}{x+y=500}{25x+35y=1450}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 500 } \\ { 25 x + 35 y = 1450 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1605$$

$$y=-1105$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=500$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+500$$

Gantikan -y+500 dengan x dalam persamaan lain, 25x+35y=1450.

$$25\left(-y+500\right)+35y=1450$$

Darabkan 25 kali -y+500.

$$-25y+12500+35y=1450$$

Tambahkan -25y pada 35y.

$$10y+12500=1450$$

Tolak 12500 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$10y=-11050$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$y=-1105$$

Gantikan -1105 dengan y dalam x=-y+500. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\left(-1105\right)+500$$

Darabkan -1 kali -1105.

$$x=1105+500$$

Tambahkan 500 pada 1105.

$$x=1605$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1605,y=-1105$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{35-25}&-\frac{1}{35-25}\\-\frac{25}{35-25}&\frac{1}{35-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 500-\frac{1}{10}\times 1450\\-\frac{5}{2}\times 500+\frac{1}{10}\times 1450\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1605\\-1105\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1605,y=-1105$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Untuk menjadikan x dan 25x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 25 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$25x+25y=25\times 500,25x+35y=1450$$

Permudahkan.

$$25x+25y=12500,25x+35y=1450$$

Tolak 25x+35y=1450 daripada 25x+25y=12500 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$25x-25x+25y-35y=12500-1450$$

Tambahkan 25x pada -25x. Seubtan 25x dan -25x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$25y-35y=12500-1450$$

Tambahkan 25y pada -35y.

$$-10y=12500-1450$$

Tambahkan 12500 pada -1450.

$$-10y=11050$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$y=-1105$$

Gantikan -1105 dengan y dalam 25x+35y=1450. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$25x+35\left(-1105\right)=1450$$

Darabkan 35 kali -1105.

$$25x-38675=1450$$

Tambahkan 38675 pada kedua-dua belah persamaan.

$$25x=40125$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 25.

$$x=1605$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1605,y=-1105$$