Selesaikan {l}{x+y=50}{36x=16y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 50 } \\ { 36 x = 16 y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{200}{13} = 15\frac{5}{13} \approx 15.384615385$$

$$y = \frac{450}{13} = 34\frac{8}{13} \approx 34.615384615$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 16y daripada kedua-dua belah.

$$36x-16y=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=50,36x-16y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=50$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+50$$

Gantikan -y+50 dengan x dalam persamaan lain, 36x-16y=0.

$$36\left(-y+50\right)-16y=0$$

Darabkan 36 kali -y+50.

$$-36y+1800-16y=0$$

Tambahkan -36y pada -16y.

$$-52y+1800=0$$

Tolak 1800 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-52y=-1800$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -52.

$$y=\frac{450}{13}$$

Gantikan \frac{450}{13} dengan y dalam x=-y+50. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{450}{13}+50$$

Tambahkan 50 pada -\frac{450}{13}.

$$x=\frac{200}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{200}{13},y=\frac{450}{13}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 16y daripada kedua-dua belah.

$$36x-16y=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=50,36x-16y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\36&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\36&-16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\36&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\36&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\36&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\36&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\36&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{-16-36}&-\frac{1}{-16-36}\\-\frac{36}{-16-36}&\frac{1}{-16-36}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&\frac{1}{52}\\\frac{9}{13}&-\frac{1}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\times 50\\\frac{9}{13}\times 50\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}\\\frac{450}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{200}{13},y=\frac{450}{13}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 16y daripada kedua-dua belah.

$$36x-16y=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=50,36x-16y=0$$

Untuk menjadikan x dan 36x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 36 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$36x+36y=36\times 50,36x-16y=0$$

Permudahkan.

$$36x+36y=1800,36x-16y=0$$

Tolak 36x-16y=0 daripada 36x+36y=1800 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$36x-36x+36y+16y=1800$$

Tambahkan 36x pada -36x. Seubtan 36x dan -36x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$36y+16y=1800$$

Tambahkan 36y pada 16y.

$$52y=1800$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 52.

$$y=\frac{450}{13}$$

Gantikan \frac{450}{13} dengan y dalam 36x-16y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$36x-16\times \frac{450}{13}=0$$

Darabkan -16 kali \frac{450}{13}.

$$36x-\frac{7200}{13}=0$$

Tambahkan \frac{7200}{13} pada kedua-dua belah persamaan.

$$36x=\frac{7200}{13}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 36.

$$x=\frac{200}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{200}{13},y=\frac{450}{13}$$