Selesaikan {l}{x+y=5}{x-y=8}{text{graphically}}{text{Metode}}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 5 } \\ { x - y = 8 } \\ { \text { graphically } } \\ { \text { Metode } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2} = 6.5$$

$$y = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=5,x-y=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=5$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+5$$

Gantikan -y+5 dengan x dalam persamaan lain, x-y=8.

$$-y+5-y=8$$

Tambahkan -y pada -y.

$$-2y+5=8$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=-\frac{3}{2}$$

Gantikan -\frac{3}{2} dengan y dalam x=-y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\left(-\frac{3}{2}\right)+5$$

Darabkan -1 kali -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}+5$$

Tambahkan 5 pada \frac{3}{2}.

$$x=\frac{13}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{13}{2},y=-\frac{3}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=5,x-y=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{13}{2},y=-\frac{3}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=5,x-y=8$$

Tolak x-y=8 daripada x+y=5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x+y+y=5-8$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y+y=5-8$$

Tambahkan y pada y.

$$2y=5-8$$

Tambahkan 5 pada -8.

$$2y=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-\frac{3}{2}$$

Gantikan -\frac{3}{2} dengan y dalam x-y=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-\left(-\frac{3}{2}\right)=8$$

Darabkan -1 kali -\frac{3}{2}.

$$x+\frac{3}{2}=8$$

Tolak \frac{3}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{13}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{13}{2},y=-\frac{3}{2}$$