Selesaikan {l}{x+y=250}{x/19+y/10=19}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 250 } \\ { \frac { x } { 19 } + \frac { y } { 10 } = 19 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{380}{3} = 126\frac{2}{3} \approx 126.666666667$$

$$y = \frac{370}{3} = 123\frac{1}{3} \approx 123.333333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=250$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+250$$

Gantikan -y+250 dengan x dalam persamaan lain, \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19.

$$\frac{1}{19}\left(-y+250\right)+\frac{1}{10}y=19$$

Darabkan \frac{1}{19} kali -y+250.

$$-\frac{1}{19}y+\frac{250}{19}+\frac{1}{10}y=19$$

Tambahkan -\frac{y}{19} pada \frac{y}{10}.

$$\frac{9}{190}y+\frac{250}{19}=19$$

Tolak \frac{250}{19} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{9}{190}y=\frac{111}{19}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{9}{190} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{370}{3}$$

Gantikan \frac{370}{3} dengan y dalam x=-y+250. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{370}{3}+250$$

Tambahkan 250 pada -\frac{370}{3}.

$$x=\frac{380}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&-\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\\-\frac{\frac{1}{19}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}&-\frac{190}{9}\\-\frac{10}{9}&\frac{190}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}\times 250-\frac{190}{9}\times 19\\-\frac{10}{9}\times 250+\frac{190}{9}\times 19\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{380}{3}\\\frac{370}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Untuk menjadikan x dan \frac{x}{19} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan \frac{1}{19} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{1}{19}\times 250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Permudahkan.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19},\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Tolak \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19 daripada \frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$\frac{1}{19}x-\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

Tambahkan \frac{x}{19} pada -\frac{x}{19}. Seubtan \frac{x}{19} dan -\frac{x}{19} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

Tambahkan \frac{y}{19} pada -\frac{y}{10}.

$$-\frac{9}{190}y=\frac{250}{19}-19$$

Tambahkan \frac{250}{19} pada -19.

$$-\frac{9}{190}y=-\frac{111}{19}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{9}{190} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{370}{3}$$

Gantikan \frac{370}{3} dengan y dalam \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}\times \frac{370}{3}=19$$

Darabkan \frac{1}{10} dengan \frac{370}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$\frac{1}{19}x+\frac{37}{3}=19$$

Tolak \frac{37}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{19}x=\frac{20}{3}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 19.

$$x=\frac{380}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$