Selesaikan {l}{x+y=240}{0.12x+0.06y=240*0.08}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 240 } \\ { 0.12 x + 0.06 y = 240 \times 0.08 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=80$$

$$y=160$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=240$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+240$$

Gantikan -y+240 dengan x dalam persamaan lain, 0.12x+0.06y=19.2.

$$0.12\left(-y+240\right)+0.06y=19.2$$

Darabkan 0.12 kali -y+240.

$$-0.12y+28.8+0.06y=19.2$$

Tambahkan -\frac{3y}{25} pada \frac{3y}{50}.

$$-0.06y+28.8=19.2$$

Tolak 28.8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-0.06y=-9.6$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -0.06 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=160$$

Gantikan 160 dengan y dalam x=-y+240. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-160+240$$

Tambahkan 240 pada -160.

$$x=80$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=80,y=160$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.06}{0.06-0.12}&-\frac{1}{0.06-0.12}\\-\frac{0.12}{0.06-0.12}&\frac{1}{0.06-0.12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{50}{3}\\2&-\frac{50}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-240+\frac{50}{3}\times 19.2\\2\times 240-\frac{50}{3}\times 19.2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\160\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=80,y=160$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

Untuk menjadikan x dan \frac{3x}{25} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 0.12 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$0.12x+0.12y=0.12\times 240,0.12x+0.06y=19.2$$

Permudahkan.

$$0.12x+0.12y=28.8,0.12x+0.06y=19.2$$

Tolak 0.12x+0.06y=19.2 daripada 0.12x+0.12y=28.8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$0.12x-0.12x+0.12y-0.06y=\frac{144-96}{5}$$

Tambahkan \frac{3x}{25} pada -\frac{3x}{25}. Seubtan \frac{3x}{25} dan -\frac{3x}{25} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$0.12y-0.06y=\frac{144-96}{5}$$

Tambahkan \frac{3y}{25} pada -\frac{3y}{50}.

$$0.06y=\frac{144-96}{5}$$

Tambahkan 28.8 pada -19.2 dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$0.06y=9.6$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 0.06 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=160$$

Gantikan 160 dengan y dalam 0.12x+0.06y=19.2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$0.12x+0.06\times 160=19.2$$

Darabkan 0.06 kali 160.

$$0.12x+9.6=19.2$$

Tolak 9.6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$0.12x=9.6$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 0.12 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=80$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=80,y=160$$