Selesaikan {l}{x+y=200}{x+1/2y=160}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 200 } \\ { x + \frac { 1 } { 2 } y = 160 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=120$$

$$y=80$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=200,x+\frac{1}{2}y=160$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=200$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+200$$

Gantikan -y+200 dengan x dalam persamaan lain, x+\frac{1}{2}y=160.

$$-y+200+\frac{1}{2}y=160$$

Tambahkan -y pada \frac{y}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+200=160$$

Tolak 200 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{2}y=-40$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=80$$

Gantikan 80 dengan y dalam x=-y+200. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-80+200$$

Tambahkan 200 pada -80.

$$x=120$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=120,y=80$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=200,x+\frac{1}{2}y=160$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{\frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-1}&\frac{1}{\frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-200+2\times 160\\2\times 200-2\times 160\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120\\80\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=120,y=80$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=200,x+\frac{1}{2}y=160$$

Tolak x+\frac{1}{2}y=160 daripada x+y=200 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x+y-\frac{1}{2}y=200-160$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y-\frac{1}{2}y=200-160$$

Tambahkan y pada -\frac{y}{2}.

$$\frac{1}{2}y=200-160$$

Tambahkan 200 pada -160.

$$\frac{1}{2}y=40$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=80$$

Gantikan 80 dengan y dalam x+\frac{1}{2}y=160. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+\frac{1}{2}\times 80=160$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 80.

$$x+40=160$$

Tolak 40 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=120$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=120,y=80$$