Selesaikan {l}{x+y=2}{x+1/2=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 2 } \\ { x + \frac { 1 } { 2 } = y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x+\frac{1}{2}-y=0$$

Tolak \frac{1}{2} daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-y=-\frac{1}{2}$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=2,x-y=-\frac{1}{2}$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=2$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+2$$

Gantikan -y+2 dengan x dalam persamaan lain, x-y=-\frac{1}{2}.

$$-y+2-y=-\frac{1}{2}$$

Tambahkan -y pada -y.

$$-2y+2=-\frac{1}{2}$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=-\frac{5}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=\frac{5}{4}$$

Gantikan \frac{5}{4} dengan y dalam x=-y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{4}+2$$

Tambahkan 2 pada -\frac{5}{4}.

$$x=\frac{3}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{5}{4}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x+\frac{1}{2}-y=0$$

Tolak \frac{1}{2} daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-y=-\frac{1}{2}$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=2,x-y=-\frac{1}{2}$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\\\frac{1}{2}\times 2-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{5}{4}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x+\frac{1}{2}-y=0$$

Tolak \frac{1}{2} daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-y=-\frac{1}{2}$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=2,x-y=-\frac{1}{2}$$

Tolak x-y=-\frac{1}{2} daripada x+y=2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x+y+y=2+\frac{1}{2}$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y+y=2+\frac{1}{2}$$

Tambahkan y pada y.

$$2y=2+\frac{1}{2}$$

Tambahkan 2 pada \frac{1}{2}.

$$2y=\frac{5}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=\frac{5}{4}$$

Gantikan \frac{5}{4} dengan y dalam x-y=-\frac{1}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-\frac{5}{4}=-\frac{1}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{3}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{5}{4}$$