Selesaikan {l}{x+y=18}{4x+2y=52}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 18 } \\ { 4 x + 2 y = 52 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=8$$

$$y=10$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=18,4x+2y=52$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=18$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+18$$

Gantikan -y+18 dengan x dalam persamaan lain, 4x+2y=52.

$$4\left(-y+18\right)+2y=52$$

Darabkan 4 kali -y+18.

$$-4y+72+2y=52$$

Tambahkan -4y pada 2y.

$$-2y+72=52$$

Tolak 72 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=-20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=10$$

Gantikan 10 dengan y dalam x=-y+18. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-10+18$$

Tambahkan 18 pada -10.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=10$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=18,4x+2y=52$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\52\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\52\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\52\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\52\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{1}{2-4}\\-\frac{4}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\52\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\2&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\52\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18+\frac{1}{2}\times 52\\2\times 18-\frac{1}{2}\times 52\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=8,y=10$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=18,4x+2y=52$$

Untuk menjadikan x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$4x+4y=4\times 18,4x+2y=52$$

Permudahkan.

$$4x+4y=72,4x+2y=52$$

Tolak 4x+2y=52 daripada 4x+4y=72 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x+4y-2y=72-52$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y-2y=72-52$$

Tambahkan 4y pada -2y.

$$2y=72-52$$

Tambahkan 72 pada -52.

$$2y=20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=10$$

Gantikan 10 dengan y dalam 4x+2y=52. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+2\times 10=52$$

Darabkan 2 kali 10.

$$4x+20=52$$

Tolak 20 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=32$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=10$$