Selesaikan {l}{x+y=17}{2.6x+3.5y=55}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 17 } \\ { 2.6 x + 3.5 y = 55 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=5$$

$$y=12$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=17$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+17$$

Gantikan -y+17 dengan x dalam persamaan lain, 2.6x+3.5y=55.

$$2.6\left(-y+17\right)+3.5y=55$$

Darabkan 2.6 kali -y+17.

$$-2.6y+44.2+3.5y=55$$

Tambahkan -\frac{13y}{5} pada \frac{7y}{2}.

$$0.9y+44.2=55$$

Tolak 44.2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$0.9y=10.8$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 0.9 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=12$$

Gantikan 12 dengan y dalam x=-y+17. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-12+17$$

Tambahkan 17 pada -12.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=12$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3.5}{3.5-2.6}&-\frac{1}{3.5-2.6}\\-\frac{2.6}{3.5-2.6}&\frac{1}{3.5-2.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{9}&-\frac{10}{9}\\-\frac{26}{9}&\frac{10}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{9}\times 17-\frac{10}{9}\times 55\\-\frac{26}{9}\times 17+\frac{10}{9}\times 55\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=5,y=12$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

Untuk menjadikan x dan \frac{13x}{5} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2.6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2.6x+2.6y=2.6\times 17,2.6x+3.5y=55$$

Permudahkan.

$$2.6x+2.6y=44.2,2.6x+3.5y=55$$

Tolak 2.6x+3.5y=55 daripada 2.6x+2.6y=44.2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2.6x-2.6x+2.6y-3.5y=44.2-55$$

Tambahkan \frac{13x}{5} pada -\frac{13x}{5}. Seubtan \frac{13x}{5} dan -\frac{13x}{5} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2.6y-3.5y=44.2-55$$

Tambahkan \frac{13y}{5} pada -\frac{7y}{2}.

$$-0.9y=44.2-55$$

Tambahkan 44.2 pada -55.

$$-0.9y=-10.8$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -0.9 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=12$$

Gantikan 12 dengan y dalam 2.6x+3.5y=55. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2.6x+3.5\times 12=55$$

Darabkan 3.5 kali 12.

$$2.6x+42=55$$

Tolak 42 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2.6x=13$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 2.6 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=12$$