Selesaikan {l}{x+y=14.5}{70x+100y=2035}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 14.5 } \\ { 70 x + 100 y = 2035 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-19.5$$

$$y=34$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=14.5,70x+100y=2035$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=14.5$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+14.5$$

Gantikan -y+14.5 dengan x dalam persamaan lain, 70x+100y=2035.

$$70\left(-y+14.5\right)+100y=2035$$

Darabkan 70 kali -y+14.5.

$$-70y+1015+100y=2035$$

Tambahkan -70y pada 100y.

$$30y+1015=2035$$

Tolak 1015 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$30y=1020$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 30.

$$y=34$$

Gantikan 34 dengan y dalam x=-y+14.5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-34+14.5$$

Tambahkan 14.5 pada -34.

$$x=-19.5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-19.5,y=34$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=14.5,70x+100y=2035$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\70&100\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14.5\\2035\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\70&100\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\70&100\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\70&100\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\70&100\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14.5\\2035\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\70&100\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14.5\\2035\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\70&100\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14.5\\2035\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{100-70}&-\frac{1}{100-70}\\-\frac{70}{100-70}&\frac{1}{100-70}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14.5\\2035\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}&-\frac{1}{30}\\-\frac{7}{3}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14.5\\2035\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\times 14.5-\frac{1}{30}\times 2035\\-\frac{7}{3}\times 14.5+\frac{1}{30}\times 2035\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{39}{2}\\34\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{39}{2},y=34$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=14.5,70x+100y=2035$$

Untuk menjadikan x dan 70x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 70 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$70x+70y=70\times 14.5,70x+100y=2035$$

Permudahkan.

$$70x+70y=1015,70x+100y=2035$$

Tolak 70x+100y=2035 daripada 70x+70y=1015 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$70x-70x+70y-100y=1015-2035$$

Tambahkan 70x pada -70x. Seubtan 70x dan -70x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$70y-100y=1015-2035$$

Tambahkan 70y pada -100y.

$$-30y=1015-2035$$

Tambahkan 1015 pada -2035.

$$-30y=-1020$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -30.

$$y=34$$

Gantikan 34 dengan y dalam 70x+100y=2035. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$70x+100\times 34=2035$$

Darabkan 100 kali 34.

$$70x+3400=2035$$

Tolak 3400 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$70x=-1365$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 70.

$$x=-\frac{39}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{39}{2},y=34$$