Selesaikan {l}{x+y=100}{2(x+10)=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 2 ( x + 10 ) = 2 y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=45$$

$$y=55$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Batalkan 2 pada kedua-dua belah.

$$x+10=y$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x+10-y=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-y=-10$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=100,x-y=-10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=100$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+100$$

Gantikan -y+100 dengan x dalam persamaan lain, x-y=-10.

$$-y+100-y=-10$$

Tambahkan -y pada -y.

$$-2y+100=-10$$

Tolak 100 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=-110$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=55$$

Gantikan 55 dengan y dalam x=-y+100. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-55+100$$

Tambahkan 100 pada -55.

$$x=45$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=45,y=55$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Batalkan 2 pada kedua-dua belah.

$$x+10=y$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x+10-y=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-y=-10$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=100,x-y=-10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\-10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\-10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\-10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 100+\frac{1}{2}\left(-10\right)\\\frac{1}{2}\times 100-\frac{1}{2}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\55\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=45,y=55$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Batalkan 2 pada kedua-dua belah.

$$x+10=y$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x+10-y=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-y=-10$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=100,x-y=-10$$

Tolak x-y=-10 daripada x+y=100 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x+y+y=100+10$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y+y=100+10$$

Tambahkan y pada y.

$$2y=100+10$$

Tambahkan 100 pada 10.

$$2y=110$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=55$$

Gantikan 55 dengan y dalam x-y=-10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-55=-10$$

Tambahkan 55 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=45$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=45,y=55$$