Selesaikan {l}{x+y=100}{0.950x+0.820y=92.5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 0.950 x + 0.820 y = 92.5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{1050}{13} = 80\frac{10}{13} \approx 80.769230769$$

$$y = \frac{250}{13} = 19\frac{3}{13} \approx 19.230769231$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=100,0.95x+0.82y=92.5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=100$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+100$$

Gantikan -y+100 dengan x dalam persamaan lain, 0.95x+0.82y=92.5.

$$0.95\left(-y+100\right)+0.82y=92.5$$

Darabkan 0.95 kali -y+100.

$$-0.95y+95+0.82y=92.5$$

Tambahkan -\frac{19y}{20} pada \frac{41y}{50}.

$$-0.13y+95=92.5$$

Tolak 95 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-0.13y=-2.5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -0.13 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{250}{13}$$

Gantikan \frac{250}{13} dengan y dalam x=-y+100. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{250}{13}+100$$

Tambahkan 100 pada -\frac{250}{13}.

$$x=\frac{1050}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1050}{13},y=\frac{250}{13}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=100,0.95x+0.82y=92.5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.82}{0.82-0.95}&-\frac{1}{0.82-0.95}\\-\frac{0.95}{0.82-0.95}&\frac{1}{0.82-0.95}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{82}{13}&\frac{100}{13}\\\frac{95}{13}&-\frac{100}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{82}{13}\times 100+\frac{100}{13}\times 92.5\\\frac{95}{13}\times 100-\frac{100}{13}\times 92.5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1050}{13}\\\frac{250}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{1050}{13},y=\frac{250}{13}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=100,0.95x+0.82y=92.5$$

Untuk menjadikan x dan \frac{19x}{20} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 0.95 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$0.95x+0.95y=0.95\times 100,0.95x+0.82y=92.5$$

Permudahkan.

$$0.95x+0.95y=95,0.95x+0.82y=92.5$$

Tolak 0.95x+0.82y=92.5 daripada 0.95x+0.95y=95 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$0.95x-0.95x+0.95y-0.82y=95-92.5$$

Tambahkan \frac{19x}{20} pada -\frac{19x}{20}. Seubtan \frac{19x}{20} dan -\frac{19x}{20} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$0.95y-0.82y=95-92.5$$

Tambahkan \frac{19y}{20} pada -\frac{41y}{50}.

$$0.13y=95-92.5$$

Tambahkan 95 pada -92.5.

$$0.13y=2.5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 0.13 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{250}{13}$$

Gantikan \frac{250}{13} dengan y dalam 0.95x+0.82y=92.5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$0.95x+0.82\times \frac{250}{13}=92.5$$

Darabkan 0.82 dengan \frac{250}{13} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$0.95x+\frac{205}{13}=92.5$$

Tolak \frac{205}{13} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$0.95x=\frac{1995}{26}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 0.95 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{1050}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1050}{13},y=\frac{250}{13}$$