Selesaikan {l}{x+y=10}{x*5=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 10 } \\ { x \times 5 = y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} \approx 8.333333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x\times 5-y=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=10,5x-y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=10$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+10$$

Gantikan -y+10 dengan x dalam persamaan lain, 5x-y=0.

$$5\left(-y+10\right)-y=0$$

Darabkan 5 kali -y+10.

$$-5y+50-y=0$$

Tambahkan -5y pada -y.

$$-6y+50=0$$

Tolak 50 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-6y=-50$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$y=\frac{25}{3}$$

Gantikan \frac{25}{3} dengan y dalam x=-y+10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{25}{3}+10$$

Tambahkan 10 pada -\frac{25}{3}.

$$x=\frac{5}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{25}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x\times 5-y=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=10,5x-y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-5}&-\frac{1}{-1-5}\\-\frac{5}{-1-5}&\frac{1}{-1-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10\\\frac{5}{6}\times 10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{25}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{25}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x\times 5-y=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=10,5x-y=0$$

Untuk menjadikan x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$5x+5y=5\times 10,5x-y=0$$

Permudahkan.

$$5x+5y=50,5x-y=0$$

Tolak 5x-y=0 daripada 5x+5y=50 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5x-5x+5y+y=50$$

Tambahkan 5x pada -5x. Seubtan 5x dan -5x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$5y+y=50$$

Tambahkan 5y pada y.

$$6y=50$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$y=\frac{25}{3}$$

Gantikan \frac{25}{3} dengan y dalam 5x-y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x-\frac{25}{3}=0$$

Tambahkan \frac{25}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=\frac{25}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{5}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{25}{3}$$