Selesaikan {l}{x+y=-4}{y=5x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = - 4 } \\ { y = 5 x + 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-1$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$y-5x=2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=-4$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y-4$$

Gantikan -y-4 dengan x dalam persamaan lain, -5x+y=2.

$$-5\left(-y-4\right)+y=2$$

Darabkan -5 kali -y-4.

$$5y+20+y=2$$

Tambahkan 5y pada y.

$$6y+20=2$$

Tolak 20 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6y=-18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x=-y-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\left(-3\right)-4$$

Darabkan -1 kali -3.

$$x=3-4$$

Tambahkan -4 pada 3.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$y-5x=2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-5\right)}&-\frac{1}{1-\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{1-\left(-5\right)}&\frac{1}{1-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-4\right)-\frac{1}{6}\times 2\\\frac{5}{6}\left(-4\right)+\frac{1}{6}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-1,y=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$y-5x=2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

Tolak -5x+y=2 daripada x+y=-4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x+5x+y-y=-4-2$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$x+5x=-4-2$$

Tambahkan x pada 5x.

$$6x=-4-2$$

Tambahkan -4 pada -2.

$$6x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=-1$$

Gantikan -1 dengan x dalam -5x+y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-5\left(-1\right)+y=2$$

Darabkan -5 kali -1.

$$5+y=2$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=-3$$