Selesaikan {l}{x+5y=1}{3x+4y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 y = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+5y=1$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-5y+1$$

Gantikan -5y+1 dengan x dalam persamaan lain, 3x+4y=4.

$$3\left(-5y+1\right)+4y=4$$

Darabkan 3 kali -5y+1.

$$-15y+3+4y=4$$

Tambahkan -15y pada 4y.

$$-11y+3=4$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-11y=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$y=-\frac{1}{11}$$

Gantikan -\frac{1}{11} dengan y dalam x=-5y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-5\left(-\frac{1}{11}\right)+1$$

Darabkan -5 kali -\frac{1}{11}.

$$x=\frac{5}{11}+1$$

Tambahkan 1 pada \frac{5}{11}.

$$x=\frac{16}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-5\times 3}&-\frac{5}{4-5\times 3}\\-\frac{3}{4-5\times 3}&\frac{1}{4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}+\frac{5}{11}\times 4\\\frac{3}{11}-\frac{1}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

Untuk menjadikan x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$3x+3\times 5y=3,3x+4y=4$$

Permudahkan.

$$3x+15y=3,3x+4y=4$$

Tolak 3x+4y=4 daripada 3x+15y=3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+15y-4y=3-4$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$15y-4y=3-4$$

Tambahkan 15y pada -4y.

$$11y=3-4$$

Tambahkan 3 pada -4.

$$11y=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$y=-\frac{1}{11}$$

Gantikan -\frac{1}{11} dengan y dalam 3x+4y=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+4\left(-\frac{1}{11}\right)=4$$

Darabkan 4 kali -\frac{1}{11}.

$$3x-\frac{4}{11}=4$$

Tambahkan \frac{4}{11} pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{48}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{16}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$