Selesaikan {l}{x+5=3y}{y-2=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 = 3 y } \\ { y - 2 = 2 x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$y = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x+5-3y=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-3y=-5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2-2x=0$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$y-2x=2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-3y=-5$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3y-5$$

Gantikan 3y-5 dengan x dalam persamaan lain, -2x+y=2.

$$-2\left(3y-5\right)+y=2$$

Darabkan -2 kali 3y-5.

$$-6y+10+y=2$$

Tambahkan -6y pada y.

$$-5y+10=2$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5y=-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=\frac{8}{5}$$

Gantikan \frac{8}{5} dengan y dalam x=3y-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=3\times \frac{8}{5}-5$$

Darabkan 3 kali \frac{8}{5}.

$$x=\frac{24}{5}-5$$

Tambahkan -5 pada \frac{24}{5}.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x+5-3y=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-3y=-5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2-2x=0$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$y-2x=2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{3}{5}\times 2\\-\frac{2}{5}\left(-5\right)-\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x+5-3y=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-3y=-5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2-2x=0$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$y-2x=2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

Untuk menjadikan x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-2x-2\left(-3\right)y=-2\left(-5\right),-2x+y=2$$

Permudahkan.

$$-2x+6y=10,-2x+y=2$$

Tolak -2x+y=2 daripada -2x+6y=10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2x+2x+6y-y=10-2$$

Tambahkan -2x pada 2x. Seubtan -2x dan 2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y-y=10-2$$

Tambahkan 6y pada -y.

$$5y=10-2$$

Tambahkan 10 pada -2.

$$5y=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=\frac{8}{5}$$

Gantikan \frac{8}{5} dengan y dalam -2x+y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x+\frac{8}{5}=2$$

Tolak \frac{8}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=\frac{2}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$