Selesaikan {l}{x+4y=2}{-x-3y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 4 y = 2 } \\ { - x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-18$$

$$y=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+4y=2,-x-3y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+4y=2$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-4y+2$$

Gantikan -4y+2 dengan x dalam persamaan lain, -x-3y=3.

$$-\left(-4y+2\right)-3y=3$$

Darabkan -1 kali -4y+2.

$$4y-2-3y=3$$

Tambahkan 4y pada -3y.

$$y-2=3$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam x=-4y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-4\times 5+2$$

Darabkan -4 kali 5.

$$x=-20+2$$

Tambahkan 2 pada -20.

$$x=-18$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-18,y=5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+4y=2,-x-3y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{-3-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-3-4\left(-1\right)}&\frac{1}{-3-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 2-4\times 3\\2+3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-18,y=5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+4y=2,-x-3y=3$$

Untuk menjadikan x dan -x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-x-4y=-2,-x-3y=3$$

Tolak -x-3y=3 daripada -x-4y=-2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-x+x-4y+3y=-2-3$$

Tambahkan -x pada x. Seubtan -x dan x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4y+3y=-2-3$$

Tambahkan -4y pada 3y.

$$-y=-2-3$$

Tambahkan -2 pada -3.

$$-y=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam -x-3y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-x-3\times 5=3$$

Darabkan -3 kali 5.

$$-x-15=3$$

Tambahkan 15 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-18$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-18,y=5$$