Selesaikan {l}{x+3y=26}{7x-2y=44}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 26 } \\ { 7 x - 2 y = 44 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=8$$

$$y=6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+3y=26,7x-2y=44$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+3y=26$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-3y+26$$

Gantikan -3y+26 dengan x dalam persamaan lain, 7x-2y=44.

$$7\left(-3y+26\right)-2y=44$$

Darabkan 7 kali -3y+26.

$$-21y+182-2y=44$$

Tambahkan -21y pada -2y.

$$-23y+182=44$$

Tolak 182 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-23y=-138$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -23.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam x=-3y+26. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-3\times 6+26$$

Darabkan -3 kali 6.

$$x=-18+26$$

Tambahkan 26 pada -18.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+3y=26,7x-2y=44$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 7}&-\frac{3}{-2-3\times 7}\\-\frac{7}{-2-3\times 7}&\frac{1}{-2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\\\frac{7}{23}&-\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}\times 26+\frac{3}{23}\times 44\\\frac{7}{23}\times 26-\frac{1}{23}\times 44\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=8,y=6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+3y=26,7x-2y=44$$

Untuk menjadikan x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$7x+7\times 3y=7\times 26,7x-2y=44$$

Permudahkan.

$$7x+21y=182,7x-2y=44$$

Tolak 7x-2y=44 daripada 7x+21y=182 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$7x-7x+21y+2y=182-44$$

Tambahkan 7x pada -7x. Seubtan 7x dan -7x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$21y+2y=182-44$$

Tambahkan 21y pada 2y.

$$23y=182-44$$

Tambahkan 182 pada -44.

$$23y=138$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 23.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam 7x-2y=44. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x-2\times 6=44$$

Darabkan -2 kali 6.

$$7x-12=44$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=56$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=6$$