Selesaikan {l}{x+3y=14}{y=-4x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 14 } \\ { y = - 4 x + 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-1$$

$$y=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$y+4x=1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+3y=14,4x+y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+3y=14$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-3y+14$$

Gantikan -3y+14 dengan x dalam persamaan lain, 4x+y=1.

$$4\left(-3y+14\right)+y=1$$

Darabkan 4 kali -3y+14.

$$-12y+56+y=1$$

Tambahkan -12y pada y.

$$-11y+56=1$$

Tolak 56 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-11y=-55$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam x=-3y+14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-3\times 5+14$$

Darabkan -3 kali 5.

$$x=-15+14$$

Tambahkan 14 pada -15.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$y+4x=1$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+3y=14,4x+y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 4}&-\frac{3}{1-3\times 4}\\-\frac{4}{1-3\times 4}&\frac{1}{1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 14+\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}\times 14-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-1,y=5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$y+4x=1$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+3y=14,4x+y=1$$

Untuk menjadikan x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$4x+4\times 3y=4\times 14,4x+y=1$$

Permudahkan.

$$4x+12y=56,4x+y=1$$

Tolak 4x+y=1 daripada 4x+12y=56 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x+12y-y=56-1$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$12y-y=56-1$$

Tambahkan 12y pada -y.

$$11y=56-1$$

Tambahkan 56 pada -1.

$$11y=55$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam 4x+y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+5=1$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=5$$