Selesaikan {l}{x+3y=14}{4x-y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 14 } \\ { 4 x - y = 14 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{56}{13} = 4\frac{4}{13} \approx 4.307692308$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3.230769231$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+3y=14,4x-y=14$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+3y=14$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-3y+14$$

Gantikan -3y+14 dengan x dalam persamaan lain, 4x-y=14.

$$4\left(-3y+14\right)-y=14$$

Darabkan 4 kali -3y+14.

$$-12y+56-y=14$$

Tambahkan -12y pada -y.

$$-13y+56=14$$

Tolak 56 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-13y=-42$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -13.

$$y=\frac{42}{13}$$

Gantikan \frac{42}{13} dengan y dalam x=-3y+14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-3\times \frac{42}{13}+14$$

Darabkan -3 kali \frac{42}{13}.

$$x=-\frac{126}{13}+14$$

Tambahkan 14 pada -\frac{126}{13}.

$$x=\frac{56}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{56}{13},y=\frac{42}{13}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+3y=14,4x-y=14$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\14\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3\times 4}&-\frac{3}{-1-3\times 4}\\-\frac{4}{-1-3\times 4}&\frac{1}{-1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 14+\frac{3}{13}\times 14\\\frac{4}{13}\times 14-\frac{1}{13}\times 14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{56}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{56}{13},y=\frac{42}{13}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+3y=14,4x-y=14$$

Untuk menjadikan x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$4x+4\times 3y=4\times 14,4x-y=14$$

Permudahkan.

$$4x+12y=56,4x-y=14$$

Tolak 4x-y=14 daripada 4x+12y=56 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x+12y+y=56-14$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$12y+y=56-14$$

Tambahkan 12y pada y.

$$13y=56-14$$

Tambahkan 56 pada -14.

$$13y=42$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 13.

$$y=\frac{42}{13}$$

Gantikan \frac{42}{13} dengan y dalam 4x-y=14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x-\frac{42}{13}=14$$

Tambahkan \frac{42}{13} pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{224}{13}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{56}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{56}{13},y=\frac{42}{13}$$