Selesaikan {l}{x+3=y}{2y+1=x}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 = y } \\ { 2 y + 1 = x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-7$$

$$y=-4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x+3-y=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-y=-3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$2y+1-x=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$2y-x=-1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-y=-3,-x+2y=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-y=-3$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=y-3$$

Gantikan y-3 dengan x dalam persamaan lain, -x+2y=-1.

$$-\left(y-3\right)+2y=-1$$

Darabkan -1 kali y-3.

$$-y+3+2y=-1$$

Tambahkan -y pada 2y.

$$y+3=-1$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-4$$

Gantikan -4 dengan y dalam x=y-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-4-3$$

Tambahkan -3 pada -4.

$$x=-7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-7,y=-4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x+3-y=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-y=-3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$2y+1-x=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$2y-x=-1$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-y=-3,-x+2y=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-3\right)-1\\-3-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-7,y=-4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x+3-y=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-y=-3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$2y+1-x=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$2y-x=-1$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-y=-3,-x+2y=-1$$

Untuk menjadikan x dan -x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-x-\left(-y\right)=-\left(-3\right),-x+2y=-1$$

Permudahkan.

$$-x+y=3,-x+2y=-1$$

Tolak -x+2y=-1 daripada -x+y=3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-x+x+y-2y=3+1$$

Tambahkan -x pada x. Seubtan -x dan x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y-2y=3+1$$

Tambahkan y pada -2y.

$$-y=3+1$$

Tambahkan 3 pada 1.

$$-y=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=-4$$

Gantikan -4 dengan y dalam -x+2y=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-x+2\left(-4\right)=-1$$

Darabkan 2 kali -4.

$$-x-8=-1$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-7,y=-4$$