Selesaikan {l}{x+2y=4}{y=2x+7}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 4 } \\ { y = 2 x + 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-2$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=7$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+2y=4,-2x+y=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+2y=4$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-2y+4$$

Gantikan -2y+4 dengan x dalam persamaan lain, -2x+y=7.

$$-2\left(-2y+4\right)+y=7$$

Darabkan -2 kali -2y+4.

$$4y-8+y=7$$

Tambahkan 4y pada y.

$$5y-8=7$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=-2y+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times 3+4$$

Darabkan -2 kali 3.

$$x=-6+4$$

Tambahkan 4 pada -6.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=7$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+2y=4,-2x+y=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4-\frac{2}{5}\times 7\\\frac{2}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-2,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=7$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+2y=4,-2x+y=7$$

Untuk menjadikan x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-2x-2\times 2y=-2\times 4,-2x+y=7$$

Permudahkan.

$$-2x-4y=-8,-2x+y=7$$

Tolak -2x+y=7 daripada -2x-4y=-8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2x+2x-4y-y=-8-7$$

Tambahkan -2x pada 2x. Seubtan -2x dan 2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4y-y=-8-7$$

Tambahkan -4y pada -y.

$$-5y=-8-7$$

Tambahkan -8 pada -7.

$$-5y=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam -2x+y=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x+3=7$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=3$$