Selesaikan {l}{x+2y=3}{2x+5y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 3 } \\ { 2 x + 5 y = 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=7$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+2y=3,2x+5y=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+2y=3$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-2y+3$$

Gantikan -2y+3 dengan x dalam persamaan lain, 2x+5y=4.

$$2\left(-2y+3\right)+5y=4$$

Darabkan 2 kali -2y+3.

$$-4y+6+5y=4$$

Tambahkan -4y pada 5y.

$$y+6=4$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=-2y+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\left(-2\right)+3$$

Darabkan -2 kali -2.

$$x=4+3$$

Tambahkan 3 pada 4.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+2y=3,2x+5y=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-2\times 2}&-\frac{2}{5-2\times 2}\\-\frac{2}{5-2\times 2}&\frac{1}{5-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 3-2\times 4\\-2\times 3+4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=7,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+2y=3,2x+5y=4$$

Untuk menjadikan x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2x+2\times 2y=2\times 3,2x+5y=4$$

Permudahkan.

$$2x+4y=6,2x+5y=4$$

Tolak 2x+5y=4 daripada 2x+4y=6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+4y-5y=6-4$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y-5y=6-4$$

Tambahkan 4y pada -5y.

$$-y=6-4$$

Tambahkan 6 pada -4.

$$-y=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam 2x+5y=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+5\left(-2\right)=4$$

Darabkan 5 kali -2.

$$2x-10=4$$

Tambahkan 10 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=-2$$