Selesaikan {l}{x+2y=10}{3y-2x=5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 10 } \\ { 3 y - 2 x = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

$$y = \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7} \approx 3.571428571$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+2y=10$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-2y+10$$

Gantikan -2y+10 dengan x dalam persamaan lain, -2x+3y=5.

$$-2\left(-2y+10\right)+3y=5$$

Darabkan -2 kali -2y+10.

$$4y-20+3y=5$$

Tambahkan 4y pada 3y.

$$7y-20=5$$

Tambahkan 20 pada kedua-dua belah persamaan.

$$7y=25$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=\frac{25}{7}$$

Gantikan \frac{25}{7} dengan y dalam x=-2y+10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times \frac{25}{7}+10$$

Darabkan -2 kali \frac{25}{7}.

$$x=-\frac{50}{7}+10$$

Tambahkan 10 pada -\frac{50}{7}.

$$x=\frac{20}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3-2\left(-2\right)}&\frac{1}{3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 10-\frac{2}{7}\times 5\\\frac{2}{7}\times 10+\frac{1}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}\\\frac{25}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

Untuk menjadikan x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-2x-2\times 2y=-2\times 10,-2x+3y=5$$

Permudahkan.

$$-2x-4y=-20,-2x+3y=5$$

Tolak -2x+3y=5 daripada -2x-4y=-20 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2x+2x-4y-3y=-20-5$$

Tambahkan -2x pada 2x. Seubtan -2x dan 2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4y-3y=-20-5$$

Tambahkan -4y pada -3y.

$$-7y=-20-5$$

Tambahkan -20 pada -5.

$$-7y=-25$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=\frac{25}{7}$$

Gantikan \frac{25}{7} dengan y dalam -2x+3y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x+3\times \frac{25}{7}=5$$

Darabkan 3 kali \frac{25}{7}.

$$-2x+\frac{75}{7}=5$$

Tolak \frac{75}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=-\frac{40}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=\frac{20}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$