Selesaikan {l}{x+2y=1}{y=4x-5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { y = 4 x - 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{11}{9} = 1\frac{2}{9} \approx 1.222222222$$

$$y=-\frac{1}{9}\approx -0.111111111$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=-5$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+2y=1$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-2y+1$$

Gantikan -2y+1 dengan x dalam persamaan lain, -4x+y=-5.

$$-4\left(-2y+1\right)+y=-5$$

Darabkan -4 kali -2y+1.

$$8y-4+y=-5$$

Tambahkan 8y pada y.

$$9y-4=-5$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$9y=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$y=-\frac{1}{9}$$

Gantikan -\frac{1}{9} dengan y dalam x=-2y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\left(-\frac{1}{9}\right)+1$$

Darabkan -2 kali -\frac{1}{9}.

$$x=\frac{2}{9}+1$$

Tambahkan 1 pada \frac{2}{9}.

$$x=\frac{11}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=-5$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{1-2\left(-4\right)}&\frac{1}{1-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\\\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}-\frac{2}{9}\left(-5\right)\\\frac{4}{9}+\frac{1}{9}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{9}\\-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=-5$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

Untuk menjadikan x dan -4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-4x-4\times 2y=-4,-4x+y=-5$$

Permudahkan.

$$-4x-8y=-4,-4x+y=-5$$

Tolak -4x+y=-5 daripada -4x-8y=-4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-4x+4x-8y-y=-4+5$$

Tambahkan -4x pada 4x. Seubtan -4x dan 4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-8y-y=-4+5$$

Tambahkan -8y pada -y.

$$-9y=-4+5$$

Tambahkan -4 pada 5.

$$-9y=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$y=-\frac{1}{9}$$

Gantikan -\frac{1}{9} dengan y dalam -4x+y=-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-4x-\frac{1}{9}=-5$$

Tambahkan \frac{1}{9} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-4x=-\frac{44}{9}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=\frac{11}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$