Selesaikan {l}{x+2y=1}{3x+y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { 3 x + y = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+2y=1,3x+y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+2y=1$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-2y+1$$

Gantikan -2y+1 dengan x dalam persamaan lain, 3x+y=0.

$$3\left(-2y+1\right)+y=0$$

Darabkan 3 kali -2y+1.

$$-6y+3+y=0$$

Tambahkan -6y pada y.

$$-5y+3=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5y=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=\frac{3}{5}$$

Gantikan \frac{3}{5} dengan y dalam x=-2y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times \frac{3}{5}+1$$

Darabkan -2 kali \frac{3}{5}.

$$x=-\frac{6}{5}+1$$

Tambahkan 1 pada -\frac{6}{5}.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{3}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+2y=1,3x+y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times 3}&-\frac{2}{1-2\times 3}\\-\frac{3}{1-2\times 3}&\frac{1}{1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{3}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+2y=1,3x+y=0$$

Untuk menjadikan x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$3x+3\times 2y=3,3x+y=0$$

Permudahkan.

$$3x+6y=3,3x+y=0$$

Tolak 3x+y=0 daripada 3x+6y=3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+6y-y=3$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y-y=3$$

Tambahkan 6y pada -y.

$$5y=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=\frac{3}{5}$$

Gantikan \frac{3}{5} dengan y dalam 3x+y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+\frac{3}{5}=0$$

Tolak \frac{3}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-\frac{3}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{3}{5}$$