Selesaikan {l}{x+2y=1}{-2x+y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { - 2 x + y = - 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=-\frac{2}{5}=-0.4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+2y=1,-2x+y=-4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+2y=1$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-2y+1$$

Gantikan -2y+1 dengan x dalam persamaan lain, -2x+y=-4.

$$-2\left(-2y+1\right)+y=-4$$

Darabkan -2 kali -2y+1.

$$4y-2+y=-4$$

Tambahkan 4y pada y.

$$5y-2=-4$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=-\frac{2}{5}$$

Gantikan -\frac{2}{5} dengan y dalam x=-2y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\left(-\frac{2}{5}\right)+1$$

Darabkan -2 kali -\frac{2}{5}.

$$x=\frac{4}{5}+1$$

Tambahkan 1 pada \frac{4}{5}.

$$x=\frac{9}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{9}{5},y=-\frac{2}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+2y=1,-2x+y=-4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}-\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{2}{5}+\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{9}{5},y=-\frac{2}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+2y=1,-2x+y=-4$$

Untuk menjadikan x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-2x-2\times 2y=-2,-2x+y=-4$$

Permudahkan.

$$-2x-4y=-2,-2x+y=-4$$

Tolak -2x+y=-4 daripada -2x-4y=-2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2x+2x-4y-y=-2+4$$

Tambahkan -2x pada 2x. Seubtan -2x dan 2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4y-y=-2+4$$

Tambahkan -4y pada -y.

$$-5y=-2+4$$

Tambahkan -2 pada 4.

$$-5y=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=-\frac{2}{5}$$

Gantikan -\frac{2}{5} dengan y dalam -2x+y=-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x-\frac{2}{5}=-4$$

Tambahkan \frac{2}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=-\frac{18}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=\frac{9}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{9}{5},y=-\frac{2}{5}$$