Selesaikan {l}{x+2y=-8}{y=-3/2x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = - 8 } \\ { y = - \frac { 3 } { 2 } x - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=-5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{3}{2}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+2y=-8$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-2y-8$$

Gantikan -2y-8 dengan x dalam persamaan lain, \frac{3}{2}x+y=-2.

$$\frac{3}{2}\left(-2y-8\right)+y=-2$$

Darabkan \frac{3}{2} kali -2y-8.

$$-3y-12+y=-2$$

Tambahkan -3y pada y.

$$-2y-12=-2$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=-5$$

Gantikan -5 dengan y dalam x=-2y-8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\left(-5\right)-8$$

Darabkan -2 kali -5.

$$x=10-8$$

Tambahkan -8 pada 10.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{3}{2}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times \frac{3}{2}}&-\frac{2}{1-2\times \frac{3}{2}}\\-\frac{\frac{3}{2}}{1-2\times \frac{3}{2}}&\frac{1}{1-2\times \frac{3}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&1\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-8\right)-2\\\frac{3}{4}\left(-8\right)-\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=-5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{3}{2}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

Untuk menjadikan x dan \frac{3x}{2} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan \frac{3}{2} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\times 2y=\frac{3}{2}\left(-8\right),\frac{3}{2}x+y=-2$$

Permudahkan.

$$\frac{3}{2}x+3y=-12,\frac{3}{2}x+y=-2$$

Tolak \frac{3}{2}x+y=-2 daripada \frac{3}{2}x+3y=-12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}x+3y-y=-12+2$$

Tambahkan \frac{3x}{2} pada -\frac{3x}{2}. Seubtan \frac{3x}{2} dan -\frac{3x}{2} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3y-y=-12+2$$

Tambahkan 3y pada -y.

$$2y=-12+2$$

Tambahkan -12 pada 2.

$$2y=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-5$$

Gantikan -5 dengan y dalam \frac{3}{2}x+y=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$\frac{3}{2}x-5=-2$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{2}x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-5$$