Selesaikan {l}{x+2y+3=0}{4x+5y+6=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 5 y + 6 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+2y+3=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x+2y=-3$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-2y-3$$

Gantikan -2y-3 dengan x dalam persamaan lain, 4x+5y+6=0.

$$4\left(-2y-3\right)+5y+6=0$$

Darabkan 4 kali -2y-3.

$$-8y-12+5y+6=0$$

Tambahkan -8y pada 5y.

$$-3y-12+6=0$$

Tambahkan -12 pada 6.

$$-3y-6=0$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=-2y-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\left(-2\right)-3$$

Darabkan -2 kali -2.

$$x=4-3$$

Tambahkan -3 pada 4.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-2\times 4}&-\frac{2}{5-2\times 4}\\-\frac{4}{5-2\times 4}&\frac{1}{5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}\left(-3\right)+\frac{2}{3}\left(-6\right)\\\frac{4}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

Untuk menjadikan x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$4x+4\times 2y+4\times 3=0,4x+5y+6=0$$

Permudahkan.

$$4x+8y+12=0,4x+5y+6=0$$

Tolak 4x+5y+6=0 daripada 4x+8y+12=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x+8y-5y+12-6=0$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y-5y+12-6=0$$

Tambahkan 8y pada -5y.

$$3y+12-6=0$$

Tambahkan 12 pada -6.

$$3y+6=0$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam 4x+5y+6=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+5\left(-2\right)+6=0$$

Darabkan 5 kali -2.

$$4x-10+6=0$$

Tambahkan -10 pada 6.

$$4x-4=0$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-2$$