Selesaikan {l}{r*3x+5y+10=0}{5:3x+5y+10=0}

$$\left. \begin{array} { l } { r \cdot 3 x + 5 y + 10 = 0 } \\ { 5 : 3 x + 5 y + 10 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }y=-2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=-3y-6\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&r=\frac{5}{9}\end{matrix}\right.$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3rx+5y+10=0,\frac{5}{3}x+5y+10=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3rx+5y+10=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3rx+5y=-10$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3rx=-5y-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3r.

$$x=\frac{1}{3r}\left(-5y-10\right)$$

Darabkan \frac{1}{3r} kali -5y-10.

$$x=\left(-\frac{5}{3r}\right)y-\frac{10}{3r}$$

Gantikan -\frac{5\left(2+y\right)}{3r} dengan x dalam persamaan lain, \frac{5}{3}x+5y+10=0.

$$\frac{5}{3}\left(\left(-\frac{5}{3r}\right)y-\frac{10}{3r}\right)+5y+10=0$$

Darabkan \frac{5}{3} kali -\frac{5\left(2+y\right)}{3r}.

$$\left(-\frac{25}{9r}\right)y-\frac{50}{9r}+5y+10=0$$

Tambahkan -\frac{25y}{9r} pada 5y.

$$\left(5-\frac{25}{9r}\right)y-\frac{50}{9r}+10=0$$

Tambahkan -\frac{50}{9r} pada 10.

$$\left(5-\frac{25}{9r}\right)y+10-\frac{50}{9r}=0$$

Tolak 10-\frac{50}{9r} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(5-\frac{25}{9r}\right)y=-10+\frac{50}{9r}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5-\frac{25}{9r}.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=\left(-\frac{5}{3r}\right)y-\frac{10}{3r}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\left(-\frac{5}{3r}\right)\left(-2\right)-\frac{10}{3r}$$

Darabkan -\frac{5}{3r} kali -2.

$$x=\frac{10-10}{3r}$$

Tambahkan -\frac{10}{3r} pada \frac{10}{3r}.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3rx+5y+10=0,\frac{5}{3}x+5y+10=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3r&5\\\frac{5}{3}&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3r&5\\\frac{5}{3}&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3r&5\\\frac{5}{3}&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3r&5\\\frac{5}{3}&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3r&5\\\frac{5}{3}&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3r&5\\\frac{5}{3}&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3r&5\\\frac{5}{3}&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3r\times 5-5\times \frac{5}{3}}&-\frac{5}{3r\times 5-5\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{3r\times 5-5\times \frac{5}{3}}&\frac{3r}{3r\times 5-5\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9r-5}&-\frac{3}{9r-5}\\-\frac{1}{9r-5}&\frac{9r}{5\left(9r-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9r-5}\left(-10\right)+\left(-\frac{3}{9r-5}\right)\left(-10\right)\\\left(-\frac{1}{9r-5}\right)\left(-10\right)+\frac{9r}{5\left(9r-5\right)}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3rx+5y+10=0,\frac{5}{3}x+5y+10=0$$

Tolak \frac{5}{3}x+5y+10=0 daripada 3rx+5y+10=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3rx-\frac{5}{3}x+5y-5y+10-10=0$$

Tambahkan 5y pada -5y. Seubtan 5y dan -5y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3rx-\frac{5}{3}x+10-10=0$$

Tambahkan 3rx pada -\frac{5x}{3}.

$$\left(3r-\frac{5}{3}\right)x+10-10=0$$

Tambahkan 10 pada -10.

$$\left(3r-\frac{5}{3}\right)x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3r-\frac{5}{3}.

$$x=0$$

Gantikan 0 dengan x dalam \frac{5}{3}x+5y+10=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$5y+10=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=-2$$