Selesaikan {l}{p+2q=4}{-3p+4q=18}

$$\left. \begin{array} { l } { p + 2 q = 4 } \\ { - 3 p + 4 q = 18 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk p, q

$$p=-2$$

$$q=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk p dengan mengasingkan p di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$p+2q=4$$

Tolak 2q daripada kedua-dua belah persamaan.

$$p=-2q+4$$

Gantikan -2q+4 dengan p dalam persamaan lain, -3p+4q=18.

$$-3\left(-2q+4\right)+4q=18$$

Darabkan -3 kali -2q+4.

$$6q-12+4q=18$$

Tambahkan 6q pada 4q.

$$10q-12=18$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$10q=30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$q=3$$

Gantikan 3 dengan q dalam p=-2q+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk p.

$$p=-2\times 3+4$$

Darabkan -2 kali 3.

$$p=-6+4$$

Tambahkan 4 pada -6.

$$p=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$p=-2,q=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4-2\left(-3\right)}&\frac{1}{4-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 4-\frac{1}{5}\times 18\\\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 18\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks p dan q.

$$p=-2,q=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

Untuk menjadikan p dan -3p sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-3p-3\times 2q=-3\times 4,-3p+4q=18$$

Permudahkan.

$$-3p-6q=-12,-3p+4q=18$$

Tolak -3p+4q=18 daripada -3p-6q=-12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-3p+3p-6q-4q=-12-18$$

Tambahkan -3p pada 3p. Seubtan -3p dan 3p saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6q-4q=-12-18$$

Tambahkan -6q pada -4q.

$$-10q=-12-18$$

Tambahkan -12 pada -18.

$$-10q=-30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$q=3$$

Gantikan 3 dengan q dalam -3p+4q=18. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk p.

$$-3p+4\times 3=18$$

Darabkan 4 kali 3.

$$-3p+12=18$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3p=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$p=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$p=-2,q=3$$