Selesaikan {l}{mx-y-3m+1=0}{x+my-3m-1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - y - 3 m + 1 = 0 } \\ { x + m y - 3 m - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$mx-y+1-3m=0$$

Tolak -3m+1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$mx-y=3m-1$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$mx=y+3m-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan m.

$$x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)$$

Darabkan \frac{1}{m} kali y+3m-1.

$$x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}$$

Gantikan \frac{y-1+3m}{m} dengan x dalam persamaan lain, x+my-3m-1=0.

$$\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0$$

Tambahkan \frac{y}{m} pada my.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0$$

Tambahkan 3-\frac{1}{m} pada -3m-1.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0$$

Tolak 2-\frac{1}{m}-3m daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan m+\frac{1}{m}.

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Gantikan \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} dengan y dalam x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}$$

Darabkan \frac{1}{m} kali \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1}.

$$x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}$$

Tambahkan 3-\frac{1}{m} pada \frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)}.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Untuk menjadikan mx dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan m.

$$mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0$$

Permudahkan.

$$mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0$$

Tolak mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0 daripada mx-y+1-3m=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Tambahkan mx pada -mx. Seubtan mx dan -mx saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Tambahkan -y pada -m^{2}y.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Tambahkan -3m+1 pada m\left(3m+1\right).

$$\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0$$

Tolak -2m+1+3m^{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1-m^{2}.

$$y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

Gantikan -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} dengan y dalam x+my-3m-1=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0$$

Darabkan m kali -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}}.

$$x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0$$

Tambahkan -\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}} pada -3m-1.

$$x-\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}=0$$

Tambahkan \frac{2m+3m^{2}+1}{1+m^{2}} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$