Selesaikan {l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

Tambahkan ny pada kedua-dua belah persamaan.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan m.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

Darabkan \frac{1}{m} kali ny+m^{2}+n^{2}.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Gantikan \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} dengan x dalam persamaan lain, x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

Tambahkan \frac{ny}{m} pada y.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

Tolak m+\frac{n^{2}}{m} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan \frac{m+n}{m}.

$$y=m-n$$

Gantikan m-n dengan y dalam x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Darabkan \frac{n}{m} kali m-n.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Tambahkan m+\frac{n^{2}}{m} pada \frac{n\left(m-n\right)}{m}.

$$x=m+n$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=m+n,y=m-n$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=m+n,y=m-n$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Untuk menjadikan mx dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan m.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

Permudahkan.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

Tolak mx+my=2m^{2} daripada mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Tambahkan mx pada -mx. Seubtan mx dan -mx saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Tambahkan -ny pada -my.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Tambahkan m^{2}+n^{2} pada -2m^{2}.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -m-n.

$$y=m-n$$

Gantikan m-n dengan y dalam x+y=2m. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+m-n=2m$$

Tolak m-n daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=m+n$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=m+n,y=m-n$$

Selesaikan untuk x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

Tambahkan ny pada kedua-dua belah persamaan.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan m.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

Darabkan \frac{1}{m} kali ny+m^{2}+n^{2}.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Gantikan \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} dengan x dalam persamaan lain, x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

Tambahkan \frac{ny}{m} pada y.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

Tolak m+\frac{n^{2}}{m} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan \frac{m+n}{m}.

$$y=m-n$$

Gantikan m-n dengan y dalam x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Darabkan \frac{n}{m} kali m-n.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Tambahkan m+\frac{n^{2}}{m} pada \frac{n\left(m-n\right)}{m}.

$$x=m+n$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=m+n,y=m-n$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=m+n,y=m-n$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Untuk menjadikan mx dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan m.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

Permudahkan.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

Tolak mx+my=2m^{2} daripada mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Tambahkan mx pada -mx. Seubtan mx dan -mx saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Tambahkan -ny pada -my.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Tambahkan m^{2}+n^{2} pada -2m^{2}.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -m-n.

$$y=m-n$$

Gantikan m-n dengan y dalam x+y=2m. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+m-n=2m$$

Tolak m-n daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=m+n$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=m+n,y=m-n$$