Selesaikan {l}{m+3=8n}{m+4n=6}

$$\left. \begin{array} { l } { m + 3 = 8 n } \\ { m + 4 n = 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk m, n

$$m=3$$

$$n=\frac{3}{4}=0.75$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 8n daripada kedua-dua belah.

$$m+3-8n=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$m-8n=-3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$m-8n=-3,m+4n=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk m dengan mengasingkan m di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$m-8n=-3$$

Tambahkan 8n pada kedua-dua belah persamaan.

$$m=8n-3$$

Gantikan 8n-3 dengan m dalam persamaan lain, m+4n=6.

$$8n-3+4n=6$$

Tambahkan 8n pada 4n.

$$12n-3=6$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$12n=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$n=\frac{3}{4}$$

Gantikan \frac{3}{4} dengan n dalam m=8n-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$m=8\times \frac{3}{4}-3$$

Darabkan 8 kali \frac{3}{4}.

$$m=6-3$$

Tambahkan -3 pada 6.

$$m=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=3,n=\frac{3}{4}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 8n daripada kedua-dua belah.

$$m+3-8n=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$m-8n=-3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$m-8n=-3,m+4n=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-8\right)}&-\frac{-8}{4-\left(-8\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-8\right)}&\frac{1}{4-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{2}{3}\times 6\\-\frac{1}{12}\left(-3\right)+\frac{1}{12}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks m dan n.

$$m=3,n=\frac{3}{4}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 8n daripada kedua-dua belah.

$$m+3-8n=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$m-8n=-3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$m-8n=-3,m+4n=6$$

Tolak m+4n=6 daripada m-8n=-3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$m-m-8n-4n=-3-6$$

Tambahkan m pada -m. Seubtan m dan -m saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-8n-4n=-3-6$$

Tambahkan -8n pada -4n.

$$-12n=-3-6$$

Tambahkan -3 pada -6.

$$-12n=-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -12.

$$n=\frac{3}{4}$$

Gantikan \frac{3}{4} dengan n dalam m+4n=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$m+4\times \frac{3}{4}=6$$

Darabkan 4 kali \frac{3}{4}.

$$m+3=6$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$m=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=3,n=\frac{3}{4}$$