Selesaikan {l}{m+2n=5}{n-2m+2=7}

$$\left. \begin{array} { l } { m + 2 n = 5 } \\ { n - 2 m + 2 = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk m, n

$$m=-1$$

$$n=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk m dengan mengasingkan m di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$m+2n=5$$

Tolak 2n daripada kedua-dua belah persamaan.

$$m=-2n+5$$

Gantikan -2n+5 dengan m dalam persamaan lain, -2m+n+2=7.

$$-2\left(-2n+5\right)+n+2=7$$

Darabkan -2 kali -2n+5.

$$4n-10+n+2=7$$

Tambahkan 4n pada n.

$$5n-10+2=7$$

Tambahkan -10 pada 2.

$$5n-8=7$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5n=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$n=3$$

Gantikan 3 dengan n dalam m=-2n+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$m=-2\times 3+5$$

Darabkan -2 kali 3.

$$m=-6+5$$

Tambahkan 5 pada -6.

$$m=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=-1,n=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 5\\\frac{2}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks m dan n.

$$m=-1,n=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

Untuk menjadikan m dan -2m sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-2m-2\times 2n=-2\times 5,-2m+n+2=7$$

Permudahkan.

$$-2m-4n=-10,-2m+n+2=7$$

Tolak -2m+n+2=7 daripada -2m-4n=-10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2m+2m-4n-n-2=-10-7$$

Tambahkan -2m pada 2m. Seubtan -2m dan 2m saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4n-n-2=-10-7$$

Tambahkan -4n pada -n.

$$-5n-2=-10-7$$

Tambahkan -10 pada -7.

$$-5n-2=-17$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-5n=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$n=3$$

Gantikan 3 dengan n dalam -2m+n+2=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$-2m+3+2=7$$

Tambahkan 3 pada 2.

$$-2m+5=7$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2m=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$m=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=-1,n=3$$