Selesaikan {l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8}

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y (complex solution)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$fx-y=7$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 9x daripada kedua-dua belah.

$$fy-9x=8$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$fx-y=7$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$fx=y+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan f.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

Darabkan \frac{1}{f} kali y+7.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

Gantikan \frac{7+y}{f} dengan x dalam persamaan lain, -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

Darabkan -9 kali \frac{7+y}{f}.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

Tambahkan -\frac{9y}{f} pada fy.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

Tambahkan \frac{63}{f} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan f-\frac{9}{f}.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Gantikan \frac{63+8f}{f^{2}-9} dengan y dalam x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

Darabkan \frac{1}{f} kali \frac{63+8f}{f^{2}-9}.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

Tambahkan \frac{7}{f} pada \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$fx-y=7$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 9x daripada kedua-dua belah.

$$fy-9x=8$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$fx-y=7$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 9x daripada kedua-dua belah.

$$fy-9x=8$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Untuk menjadikan fx dan -9x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -9 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan f.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

Permudahkan.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

Tolak \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f daripada \left(-9f\right)x+9y=-63 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Tambahkan -9fx pada 9fx. Seubtan -9fx dan 9fx saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Tambahkan 9y pada -f^{2}y.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Tambahkan -63 pada -8f.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -f^{2}+9.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Gantikan -\frac{63+8f}{9-f^{2}} dengan y dalam -9x+fy=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

Darabkan f kali -\frac{63+8f}{9-f^{2}}.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

Tambahkan \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$fx-y=7$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 9x daripada kedua-dua belah.

$$fy-9x=8$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$fx-y=7$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$fx=y+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan f.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

Darabkan \frac{1}{f} kali y+7.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

Gantikan \frac{7+y}{f} dengan x dalam persamaan lain, -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

Darabkan -9 kali \frac{7+y}{f}.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

Tambahkan -\frac{9y}{f} pada fy.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

Tambahkan \frac{63}{f} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan f-\frac{9}{f}.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Gantikan \frac{63+8f}{f^{2}-9} dengan y dalam x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

Darabkan \frac{1}{f} kali \frac{63+8f}{f^{2}-9}.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

Tambahkan \frac{7}{f} pada \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$fx-y=7$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 9x daripada kedua-dua belah.

$$fy-9x=8$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$fx-y=7$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 9x daripada kedua-dua belah.

$$fy-9x=8$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Untuk menjadikan fx dan -9x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -9 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan f.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

Permudahkan.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

Tolak \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f daripada \left(-9f\right)x+9y=-63 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Tambahkan -9fx pada 9fx. Seubtan -9fx dan 9fx saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Tambahkan 9y pada -f^{2}y.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Tambahkan -63 pada -8f.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -f^{2}+9.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Gantikan -\frac{63+8f}{9-f^{2}} dengan y dalam -9x+fy=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

Darabkan f kali -\frac{63+8f}{9-f^{2}}.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

Tambahkan \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$