Selesaikan {l}{cx+y=69}{2x+y=87}

$$\left. \begin{array} { l } { c x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29c\right)}{c-2}$$

$$c\neq 2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$cx+y=69$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$cx=-y+69$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan c.

$$x=\frac{1}{c}\left(-y+69\right)$$

Darabkan \frac{1}{c} kali -y+69.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}$$

Gantikan \frac{69-y}{c} dengan x dalam persamaan lain, 2x+y=87.

$$2\left(\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}\right)+y=87$$

Darabkan 2 kali \frac{69-y}{c}.

$$\left(-\frac{2}{c}\right)y+\frac{138}{c}+y=87$$

Tambahkan -\frac{2y}{c} pada y.

$$\frac{c-2}{c}y+\frac{138}{c}=87$$

Tolak \frac{138}{c} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{c-2}{c}y=87-\frac{138}{c}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan \frac{-2+c}{c}.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Gantikan \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c} dengan y dalam x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)\times \frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}+\frac{69}{c}$$

Darabkan -\frac{1}{c} kali \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c}.

$$x=-\frac{3\left(29c-46\right)}{c\left(c-2\right)}+\frac{69}{c}$$

Tambahkan \frac{69}{c} pada -\frac{3\left(-46+29c\right)}{c\left(-2+c\right)}.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}&-\frac{1}{c-2}\\-\frac{2}{c-2}&\frac{c}{c-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}\times 69+\left(-\frac{1}{c-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{c-2}\right)\times 69+\frac{c}{c-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{c-2}\\\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Tolak 2x+y=87 daripada cx+y=69 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$cx-2x+y-y=69-87$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$cx-2x=69-87$$

Tambahkan cx pada -2x.

$$\left(c-2\right)x=69-87$$

Tambahkan 69 pada -87.

$$\left(c-2\right)x=-18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan c-2.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

Gantikan -\frac{18}{c-2} dengan x dalam 2x+y=87. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$2\left(-\frac{18}{c-2}\right)+y=87$$

Darabkan 2 kali -\frac{18}{c-2}.

$$-\frac{36}{c-2}+y=87$$

Tambahkan \frac{36}{c-2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$