Selesaikan {l}{b*12x-15y=-4}{16x+10y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { b \cdot 12 x - 15 y = - 4 } \\ { 16 x + 10 y = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

$$b\neq -2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$12bx-15y=-4$$

Tambahkan 15y pada kedua-dua belah persamaan.

$$12bx=15y-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12b.

$$x=\frac{1}{12b}\left(15y-4\right)$$

Darabkan \frac{1}{12b} kali 15y-4.

$$x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}$$

Gantikan \frac{-4+15y}{12b} dengan x dalam persamaan lain, 16x+10y=7.

$$16\left(\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}\right)+10y=7$$

Darabkan 16 kali \frac{-4+15y}{12b}.

$$\frac{20}{b}y-\frac{16}{3b}+10y=7$$

Tambahkan \frac{20y}{b} pada 10y.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y-\frac{16}{3b}=7$$

Tambahkan \frac{16}{3b} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y=7+\frac{16}{3b}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan \frac{20}{b}+10.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Gantikan \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} dengan y dalam x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5}{4b}\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

Darabkan \frac{5}{4b} kali \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}.

$$x=\frac{21b+16}{24b\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

Tambahkan -\frac{1}{3b} pada \frac{16+21b}{24b\left(2+b\right)}.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&-\frac{-15}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\\-\frac{16}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&\frac{12b}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}&\frac{1}{8\left(b+2\right)}\\-\frac{2}{15\left(b+2\right)}&\frac{b}{10\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}\left(-4\right)+\frac{1}{8\left(b+2\right)}\times 7\\\left(-\frac{2}{15\left(b+2\right)}\right)\left(-4\right)+\frac{b}{10\left(b+2\right)}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{24\left(b+2\right)}\\\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

Untuk menjadikan 12bx dan 16x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 16 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 12b.

$$16\times 12bx+16\left(-15\right)y=16\left(-4\right),12b\times 16x+12b\times 10y=12b\times 7$$

Permudahkan.

$$192bx-240y=-64,192bx+120by=84b$$

Tolak 192bx+120by=84b daripada 192bx-240y=-64 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$192bx+\left(-192b\right)x-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

Tambahkan 192bx pada -192bx. Seubtan 192bx dan -192bx saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

Tambahkan -240y pada -120by.

$$\left(-120b-240\right)y=-64-84b$$

Tambahkan -64 pada -84b.

$$\left(-120b-240\right)y=-84b-64$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -240-120b.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Gantikan \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} dengan y dalam 16x+10y=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$16x+10\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}=7$$

Darabkan 10 kali \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}.

$$16x+\frac{21b+16}{3\left(b+2\right)}=7$$

Tolak \frac{16+21b}{3\left(2+b\right)} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$16x=\frac{26}{3\left(b+2\right)}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 16.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$