Selesaikan {l}{ax+y+1=0}{x+y-a=0}

$$\left. \begin{array} { l } { a x + y + 1 = 0 } \\ { x + y - a = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{a+1}{a-1}$$

$$y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$

$$a\neq 1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$ax+y+1=0,x+y-a=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$ax+y+1=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$ax+y=-1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$ax=-y-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan a.

$$x=\frac{1}{a}\left(-y-1\right)$$

Darabkan \frac{1}{a} kali -y-1.

$$x=\left(-\frac{1}{a}\right)y-\frac{1}{a}$$

Gantikan -\frac{1+y}{a} dengan x dalam persamaan lain, x+y-a=0.

$$\left(-\frac{1}{a}\right)y-\frac{1}{a}+y-a=0$$

Tambahkan -\frac{y}{a} pada y.

$$\frac{a-1}{a}y-\frac{1}{a}-a=0$$

Tambahkan -\frac{1}{a} pada -a.

$$\frac{a-1}{a}y-a-\frac{1}{a}=0$$

Tolak -\frac{1}{a}-a daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{a-1}{a}y=a+\frac{1}{a}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan \frac{-1+a}{a}.

$$y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$

Gantikan \frac{a^{2}+1}{-1+a} dengan y dalam x=\left(-\frac{1}{a}\right)y-\frac{1}{a}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\left(-\frac{1}{a}\right)\times \frac{a^{2}+1}{a-1}-\frac{1}{a}$$

Darabkan -\frac{1}{a} kali \frac{a^{2}+1}{-1+a}.

$$x=-\frac{a^{2}+1}{a\left(a-1\right)}-\frac{1}{a}$$

Tambahkan -\frac{1}{a} pada -\frac{a^{2}+1}{a\left(-1+a\right)}.

$$x=-\frac{a+1}{a-1}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{a+1}{a-1},y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$ax+y+1=0,x+y-a=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\a\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\a\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\a\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\a\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{a-1}&-\frac{1}{a-1}\\-\frac{1}{a-1}&\frac{a}{a-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\a\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{a-1}\left(-1\right)+\left(-\frac{1}{a-1}\right)a\\\left(-\frac{1}{a-1}\right)\left(-1\right)+\frac{a}{a-1}a\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a+1}{a-1}\\\frac{a^{2}+1}{a-1}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{a+1}{a-1},y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$ax+y+1=0,x+y-a=0$$

Tolak x+y-a=0 daripada ax+y+1=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$ax-x+y-y+1+a=0$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$ax-x+1+a=0$$

Tambahkan ax pada -x.

$$\left(a-1\right)x+1+a=0$$

Tambahkan 1 pada a.

$$\left(a-1\right)x+a+1=0$$

Tolak 1+a daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(a-1\right)x=-\left(a+1\right)$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan a-1.

$$x=-\frac{a+1}{a-1}$$

Gantikan -\frac{1+a}{a-1} dengan x dalam x+y-a=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-\frac{a+1}{a-1}+y-a=0$$

Tambahkan -\frac{1+a}{a-1} pada -a.

$$y-\frac{a^{2}+1}{a-1}=0$$

Tambahkan \frac{1+a^{2}}{a-1} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{a+1}{a-1},y=\frac{a^{2}+1}{a-1}$$