Selesaikan {l}{ax+by=c}{a^2x+b^2y=c}

$$\left. \begin{array} { l } { a x + b y = c } \\ { a ^ { 2 } x + b ^ { 2 } y = c } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$ax+by=c$$

Tolak by daripada kedua-dua belah persamaan.

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan a.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

Darabkan \frac{1}{a} kali -by+c.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

Gantikan \frac{-by+c}{a} dengan x dalam persamaan lain, a^{2}x+b^{2}y=c.

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

Darabkan a^{2} kali \frac{-by+c}{a}.

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

Tambahkan -bay pada b^{2}y.

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

Tolak ca daripada kedua-dua belah persamaan.

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan b\left(b-a\right).

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Gantikan \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)} dengan y dalam x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

Darabkan -\frac{b}{a} kali \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}.

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

Tambahkan \frac{c}{a} pada -\frac{\left(1-a\right)c}{\left(b-a\right)a}.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Untuk menjadikan ax dan a^{2}x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan a^{2} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan a.

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

Permudahkan.

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

Tolak a^{3}x+ab^{2}y=ac daripada a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

Tambahkan a^{3}x pada -a^{3}x. Seubtan a^{3}x dan -a^{3}x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

Tambahkan a^{2}by pada -ab^{2}y.

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

Tambahkan a^{2}c pada -ac.

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan ab\left(a-b\right).

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

Gantikan \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} dengan y dalam a^{2}x+b^{2}y=c. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

Darabkan b^{2} kali \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}.

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

Tolak \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan a^{2}.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

Selesaikan untuk x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 1\text{ and }b\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$ax+by=c$$

Tolak by daripada kedua-dua belah persamaan.

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan a.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

Darabkan \frac{1}{a} kali -by+c.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

Gantikan \frac{-by+c}{a} dengan x dalam persamaan lain, a^{2}x+b^{2}y=c.

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

Darabkan a^{2} kali \frac{-by+c}{a}.

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

Tambahkan -bay pada b^{2}y.

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

Tolak ca daripada kedua-dua belah persamaan.

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan b\left(-a+b\right).

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Gantikan \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)} dengan y dalam x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

Darabkan -\frac{b}{a} kali \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)}.

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

Tambahkan \frac{c}{a} pada -\frac{\left(1-a\right)c}{\left(-a+b\right)a}.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Untuk menjadikan ax dan a^{2}x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan a^{2} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan a.

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

Permudahkan.

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

Tolak a^{3}x+ab^{2}y=ac daripada a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

Tambahkan a^{3}x pada -a^{3}x. Seubtan a^{3}x dan -a^{3}x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

Tambahkan a^{2}by pada -ab^{2}y.

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

Tambahkan a^{2}c pada -ac.

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan ab\left(a-b\right).

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

Gantikan \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} dengan y dalam a^{2}x+b^{2}y=c. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

Darabkan b^{2} kali \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}.

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

Tolak \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan a^{2}.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$